La magia del icosaedro

"Cuando no puedes expresarlo con un número,
tu conocimiento se vuelve pobre e insatisfatorio"
Lord Kelvin (William Thomson; 1.824 - 1.907)

Este modelo fue el primer globo con forma de icosaedro que elabore, a partir de un proceso de análisis matemático simple -que ya existe- se infiere que el globo con forma de icosaedro estelado se podía elaborar de forma sencilla en dos dimensiones:

Tomando como longitud de un lado la unidad (1):

Se cumple para todo triángulo equilatero que el ortocentro dista de los vértices 2/3 de su longitud -longitud de altura- y 1/3 de esa longitud con relación al lado. Por ende la altura del triángulo anterior en mi icosaedro es:

en donde el ortocentro se ubica en "O" :

y las distancias OL, OS y ON miden:

y las distancias OI, OA y OD miden:

Para el triángulo LSN el area es igual a:

Partiendo de la definición geométrica de plano (los mas curiosos se pueden leer el quinto postulado de EUCLIDES) podemos trazar tres planos al interior del icosaedro y obtemos la siguiente representación:

Si observamos bien el lado menor de los planos es igual al lado del triángulo equilatero es decir igual a la unidad, por lo que el lado menor de los planos es igual a uno:

Al trazar el centro del icosaedro este coincide con el centro de los planos "R" y obtenemos el triángulo RLN; para calcular el lado mayor del plano toca trazar un cuadrado con longitud de lado igual la unidad:

Notese que en este cuadrado la diagonal que trazamos es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos valen 1 y 1/2:

Al circunscribir esta diagonal obtenemos la siguiente figura:

para prolongar la base del cuadrado que tiene la unidad como longitud y que luego de hacer la suma da:

Finalmente reemplazamos todos los valores en el triángulo OO´R

Pero un momento si:

lo multiplicamos por 2 obtenemos el producto notable:

y luego reemplazando:

DONDE:

Si usted desconocía cual era el volumen de este solido y sin embargo es capaz de hacer el ICOSAEDRO en GLOBO ¿no le parece que hay algo mágico en todo esto?

después les cuento de donde diablos salio "a" al cubo

Lisandro Mesa O.